В треугольник Авс АВ=15см, АС=20см, ВС=30см. Прямая пересекает стороны угла А и отсекает...

Чертеж - во вложении.
Пусть прямая КМ - пересекает стороны угла А и отсекает трапецию ВКМС. Тогда KM||ВС. Следовательно, Δ АВС и Δ АКМ подобны по двум углам (равные углы показаны на чертеже).
Пусть АК=х, АМ=у. Тогда КВ=15-х, МС=20-у.
$KM=P_{BKMC}-(KB+BC+CM)=63-(15-x+30+20-y)= \\ =x+y-2.$
Из подобия треугольников следует равенство:
$\frac{AK}{AB} = \frac{KM}{BC} = \frac{AM}{AC} \\ \frac{x}{15} = \frac{x+y-2}{30} = \frac{y}{20}$
Получим систему:
$\begin {cases} \frac{x}{1} = \frac{x+y-2}{2} \\ \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \end {cases};\ \begin {cases} 2x=x+y-2 \\ 4x=3y\end {cases};\ \begin {cases} y=x+2 \\ 4x=3x+6\end {cases};\ \begin {cases} x=6 \\ y=8\end {cases}.$
Итак, KM=6+8-2=12 (см)
Ответ: 12 см.