Tg a/2+ctg a/2+2 в произведение

Решите задачу:

$tg \frac{ \alpha }{2} +ctg \frac{ \alpha }{2} +2=tg\frac{ \alpha }{2}+\frac{1}{tg\frac{ \alpha }{2}}+2= \frac{tg^2 \frac{ \alpha }{2}+1 }{tg \frac{ \alpha }{2} } +2=\\\\= \frac{\frac{1}{cos^2\frac{ \alpha }{2}}}{tg\frac{ \alpha }{2}} +2= \frac{1}{cos^2\frac{ \alpha }{2}\cdot \frac{sin\frac{ \alpha }{2}}{cos\frac{ \alpha }{2}}} +2=\frac{1}{sin\frac{ \alpha }{2}\cdot cos\frac{ \alpha }{2}}+2=\\\\= \frac{1}{\frac{1}{2}sin \alpha } +2= \frac{2}{sin \alpha }+2= \frac{2(1+sin \alpha )}{sin \alpha }$