Как вариант, можно сначала записывать дифференциалы, это довольно удобный метод:
1) dz=4xydx+2x^2dy+3y^2dx+6xydy+3x^2dx= (4xy+3y^2+3x^2)dx+(2x^2+6xy)dy
Откуда уже можно найти производные по х и у: dz/dx= (4xy+3y^2+3x^2)
dz/dy=(2x^2+6xy)
2) du=ydx+xdy+4√z dy+y/4x^(3/4) dz+xdz+zdx=dx (y+z) + dy(x+4√z) + dz (y/4x^(3/4)+x)
3) dz = 3x^2 dx+1/(2√y) dy - 5x dy - 5ydx= dx(3x^2-5y) + dy(1/(2√y)-5x)
4) Здесь уже не стоит забывать о сложных производных
dz= (x*cos(xy^2)*y^2 + Sin[xy^2] )dx+(x*Cos(xy^2)*x*2y) dy
5) z' по иксу: -2x*y^2* exp(-x^2 y^2)
z' по игреку: -2x^2*y* exp(-x^2 y^2)
Здесь сначала дифференцируем экспоненту, получая -y^2, потом залезаем уже в икс, откуда получаем 2x
6) z' по иксу: sin(x+y)+x cos(x+y)
z' по игреку: x cos(x+y)