Решите пожалуйста! Очень надо 5ctg^2 x-3cosx=2

0 голосов
19 просмотров

Решите пожалуйста! Очень надо 5ctg^2 x-3cosx=2


Математика (15 баллов) | 19 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

5ctg^2 x - 3cos x = 2
5cos^2 x / sin^2 x - 3cos x - 2 = 0
Умножаем всё на sin^2 x
5cos^2 x - 3cos x*sin^2 x - 2sin^2 x = 0
7cos^2 x - 2cos^2 x - 2sin^2 x - 3cos x*(1 - cos^2 x) = 0
7cos^2 x - 2 - 3cos x + 3cos^3 x = 0

Свели к кубическому уравнению относительно cos x.
Замена cos x = y; по области значений косинуса y = [-1; 1]
3y^3 + 7y^2 - 3y - 2 = 0
Перепишем так
3y^3 - 2y^2 + 9y^2 - 6y + 3y - 2 = 0
И разложим на множители
(3y - 2)(y^2 + 3y + 1) = 0
y1 = cos x = 2/3
x1 = +-arccos(2/3) + 2pi*k

Решаем квадратное уравнение во второй скобке
y^2 + 3y + 1 = 0
D = 9 - 4 = 5
y1 = cos x = (-3 - √5)/2 ~ -2,618 < -1
Решений нет
y2 = cos x = (-3 + √5)/2 ~ -0,382 > -1
x2 = +-arccos((-3 + √5)/2)


(320k баллов)