1. Она внимательно изучала карту.
берем studing - "изучать, исследовать" т.к. learning - "учиться, получать умение", а teaching - это "учить, обучать кого-либо" вообще не подходит по смыслу.
2. Во многих странах мужчины должны нести военную службу.
берем must - "должны", т.к. долженствование здесь строгое, и их по сути никто не спрашивает, хотят они служить или нет, обязан - и всё, прописано в законе. should - "следует" - менее строгое долженствование, здесь неуместно, это не выбор. have to - "приходится", можно и отказаться в принципе, но отказываются только контрактники.