1) в общем виде радиус окружности, вписанный в произвольный треугольник:
r=S/p=2S/P; (1);
(р- полупериметр; P- периметр);
2) для прямоугольного треугольника:
S=a*b/2 (половина произведения катетов); 2S=ab;
3) подставим в (1):
r=ab/P (2);
4) сделаем замену, используя то, что в прямоугольном треугольнике a^2+b^2-c^2=0;
5) ab=a^2+b^2-c^2+ab=a^2+b^2-c^2+ab+ab-ab=a^2+2ab+b^2-c^2-ab;
ab+ab=(a+b)^2-c^2=(a+b-c)(a+b+c);
ab=(a+b-c)(a+b+c)/2= (a+b-c)*P/2;
6) подставим в (2):
r=(a+b-c)*P/2*P=(a+b-c)/2;
2r=a+b-c;