График функции симметричен относительно оси ОХ, функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Проверим на чётность/нечётность
f(-x)=(-x)²/((-x)²+1)=x²/(x²+1)=f(x)
значит данная функция является четной, её график симметричен оси ординат.
Вертикальные асимптоты отсутствуют.
График функции проходит через начало координат. Функция больше 0 на всей области определения.
f'(x)=(x²/(x²+1))'=((x²)'(x²+1)-x²(x²+1)')/(x²+1)²=(2x(x²+1)-x²*2x)/(x²+1)²=
=(2x³+2x-2x³)/(x²+1)²=2x/(x²+1)²
2x/(x²+1)²=0
x=0 - критическая точка
Определим знаки производной на интервалах
- +
-----------------------------------(0)-------------------------------------
функция убывает на интервале (-∞;0) и возрастает на интервале (0;+∞).
В точке х=0 функция достигает минимума: f(0)=0
f''(x)=(2x/(x²+1)²)'=2((x)'(x²+1)²-x((x²+1)²)')/(x²+1)⁴=2((x²+1)²-x*2(x²+1)*2x)/(x²+1)⁴=
=2*((x²+1)²-4x²(x²+1))/(x²+1)⁴=2*(x²+1)(x²+1-4x²)/(x²+1)⁴=2(1-3x²)/(x²+1)³=
=(2-6x²)/(x²+1)³
(2-6x²)/(x²+1)³=0
Знаменатель не равен 0 и положителен при любом х, поэтому работаем с числителем:
2-6x²=0
-6x²=-2
x²=1/3 x=-1/√3 x=1/√3 - критические точки
Определим знаки f''(x):
- + -
----------------------(-1/√3)---------------------------(1/√3)---------------------------
График функции f(x) является выпуклым на (-∞;-1/√3)∪(1/√3;+∞) и вогнутым на (-1/√3;1/√3).
