Решить уравнение .
Решение. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится уравнение , которое решать весьма сложно. Поэтому воспользуемся другим способом: введем новую переменную и решим квадратное уравнение . Его корни: и . Соответственно исходное уравнение будет равносильно совокупности двух уравнений
или
Таким образом, исходное уравнение четвертой степени имеет два корня и .
Ответ: , .
Пример 2. Решить уравнение x3 – 4x2 + 5x –2 = 0.
Решение. Преобразуем уравнение:
x3 – 4x2 + 5x – 2 = 0; (x3 – 4x2 + 4x) + (x – 2) = 0;
x(x2 – 4x + 4) + (x – 2) = 0; x(x – 2)2 + (x – 2) = 0;
(x – 2)·(x2 – 2x + 1) = 0; (x – 2)·(x – 1)2 = 0.
Значит, x – 2 = 0 или (x – 1)2 = 0.
Ответ: х = 1 или х = 2.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение можно решать двумя способами.
Способ 1. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
.
Уравнение не имеет решений, поскольку .
Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение .
Способ 2. Так как данное уравнение является приведенным и имеет целые коэффициенты, то найдем один его корень подбором среди делителей свободного члена : . Легко убедиться, что является корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни разделим многочлен на двучлен :
Получим совокупность двух уравнений , которая решена в способе 1.Ответ: .Пример 4. Найти наибольший отрицательный корень уравнения.Решение. Подобрать корни данного уравнения весьма сложно, поэтому воспользуемся следующим приемом: домножим (или разделим) данное уравнение на некоторое число так, чтобы старший член уравнения стал кубом некоторого выражения.Заметим, что , и введем новую переменную . В результате получим уравнение , равносильное исходному. Подбором найдем его корни , и , которым будут соответствовать корни исходного уравнения , и . Наибольшим отрицательным корнем является .Ответ: .Пример 5. Найти наименьший корень уравнения.Решение. Преобразуем исходное уравнение следующим образом:Введем новую переменную и получим уравнение . Решим полученное уравнение как квадратное относительно .,,, или .Вернемся к переменной . Получили четыре решения исходного уравнения. Выберем наименьшее из них. Так как , то , поэтому – наименьшее решение.Ответ: . Пример 6. Решить уравнение.Решение. Введём новую переменную t=2x+1/(3x), тогда получим3t2 + 10t + 7 = 0.Корни этого уравнения: t1 = –1, t2 = -7/3. Рассмотрим два случая:а) t = –1; 2x+(3x)-1=-1; 6x2 + 3x + 1 = 0; дискриминант меньше нуля – корней нет.б) t=-7/3; 2x+(3x)-1=-7/3; 6x2 + 7x + 1 = 0; х = –1 или x=-1/6.Ответ: -1; -1/6. Пример 7. Решить уравнениеРешение. Выделим в левой части уравнения полный квадрат и затем с помощью замены переменной сведём его к квадратному уравнению.Пусть новая переменная t=x2/(x+2), тогда получим после упрощения квадратное уравнение t2 + 4t = 5, корнями которого являются числа 1 и –5.Рассмотрим два случая:а) t = 1; ; x2 – x – 2 = 0; x1 = –1 или x2 = 2.б) t = –5; ; x2 + 5x + 10 = 0; решений нет.Ответ: -1; 2. Пример 8. Решить уравнение.Решение. Преобразуем это уравнение следующим образом:.Выполним деление каждой дроби:;; .Приведём к общему знаменателю и затем упростим числитель:,.Отсюда следует ответ.Ответ: 0; -5/2. Задания для самостоятельного решения1. Решите уравнения методом разложения на множители:а) x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0; б) x4 – 81 = 0;в) x4 + 4x2 – 21 = 0; г) x4 – 8x = 0;д) x4 – 27x = 0; е) x3 – 3x – 2 = 0;ж) x3 – 19x – 30 = 0; з) 2x3 – x2 – 1 = 0;и) 2x4 +x3 – 2x2 – x = 0.2. Решите уравнения методом введения новой переменной:а) (x2 – 3x)2 + 3(x2 – 3x) – 28 = 0;б) (x2 + 5x)2 –2(x2 + 5x) = 24;в) (x2 –2 x – 1)2 + 3x2 – 6x – 13 = 0;г) (x2 + x + 1)2 – 3x2 – 3x – 1 = 0;д) ;е) ;ж) .3. Решите уравнения методом введения новых переменных (в некоторых уравнениях вначале соответствующим образом сгруппируйте множители, а затем раскройте скобки):а) (2x2 – 3x + 5)2 – 60(2x2 – 3x + 5) = –500;б) (3x2 – x + 1)2 –5(3x2 – x + 1) – 6 = 0;в) (x2 + x + 1)·(x2 + x + 2) = 12;г) (x2 – 2x – 4)·(x2 – 2x – 3) = 2;д) (x + 3)·(x + 1)·(x + 5)·(x + 7) = –16;е) (x + 3)·(x + 1)·(x + 2)·(x + 4) = 3;ж) (x – 2)·(x + 1)·(x – 6)·(x – 3) = 13;з) (x – 2)·(x + 4)·(x + 5)·(x – 3) = 18.4. Решите уравнения:а) ;б) ;в) ;г) ;д) ;е) ;ж) .5. Решите уравнения:а) (x + 2)4 + (x + 4)4 = 82;б) (x – 3)4 + (x + 1)4 = 256;в) (x – 5)4 + (x + 1)4 = 386;г) (x + 5)4 + (x + 3)4 = 16;д) (x –1)5 + (x + 3)5 = 242(x + 1);е) (2x – 3)4 + (2x – 5)4 = 2.6. Решите уравнения:а) ;б) ;в) ;г) ;д) ;е) . Ответы