Найти проекцию точки А(5;6) ** прямую, проходящую через точки В(1;4) и С(3;10).

Question 1

Найти проекцию точки А(5;6) на прямую, проходящую через точки В(1;4) и С(3;10).

Question 2

Пусть P(x; y) - проекция А на ВС.
Тогда векторы $\vec{PA}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно 0.
$\vec{PA}=\{5-x; 6-y\};\ \vec{BC}=\{2; 6\}\\ \\ =\ \textgreater \ \vec{PA} \cdot \vec{BC} = 10-2x+36-6y=0\ =\ \textgreater \ x+3y=23.$
Т.к. P(x; y)∈BC, то векторы BP и ВС сонаправлены и их координаты пропорциональны, т.е. для $\vec{BP}=\{x-1;\ y-4 \}$ и $\vec{BC}=\{2; 6\}$ получим соотношение
$\frac{x-1}{2} = \frac{y-4}{6} \ =\ \textgreater \ x-1= \frac{y-4}{3} \ =\ \textgreater \ 3x-y=-1.$
Решаем далее систему
$\left \{ x+3y=23} \atop {3x-y=-1} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ x+3y=23} \atop {9x-3y=-3} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ 10x=20} \atop {y=3x+1} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ x=2} \atop {y=7} \right.$
Значит, Р(2; 7) - искомая проекция точки А на прямую ВС.
Ответ: Р(2; 7).

artalex74_zn · Answer 1 · 2018-04-26T08:55:30+0000

Пусть P(x; y) - проекция А на ВС.
Тогда векторы $\vec{PA}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно 0.
$\vec{PA}=\{5-x; 6-y\};\ \vec{BC}=\{2; 6\}\\ \\ =\ \textgreater \ \vec{PA} \cdot \vec{BC} = 10-2x+36-6y=0\ =\ \textgreater \ x+3y=23.$
Т.к. P(x; y)∈BC, то векторы BP и ВС сонаправлены и их координаты пропорциональны, т.е. для $\vec{BP}=\{x-1;\ y-4 \}$ и $\vec{BC}=\{2; 6\}$ получим соотношение
$\frac{x-1}{2} = \frac{y-4}{6} \ =\ \textgreater \ x-1= \frac{y-4}{3} \ =\ \textgreater \ 3x-y=-1.$
Решаем далее систему
$\left \{ x+3y=23} \atop {3x-y=-1} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ x+3y=23} \atop {9x-3y=-3} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ 10x=20} \atop {y=3x+1} \right. \ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ x=2} \atop {y=7} \right.$
Значит, Р(2; 7) - искомая проекция точки А на прямую ВС.
Ответ: Р(2; 7).