Этот интеграл берется по частям три раза подряд, каждый раз степень x³ под интегралом будет понижаться на единицу. решается по формуле ∫udv=uv-∫vdu
1) ∫x³e^(2x)dx
u=x³, du=3x²dx , dv=e^(2x)dx, ∫dv=∫e^(2x)dx, v=(1/2)e^(2x) (1)
∫x³e^(2x)dx=x³(1/2)e^(2x)-∫(1/2)(e^(2x))3x²dx=(1/2)x³e^(2x)-(3/2)∫x²e^(2x)dx (2)
2) вычислим отдельно ∫x²e^(2x)dx
u=x², du=2xdx, dv=e^(2x)dx, так же как и в п. 1) v=(1/2)e^(2x)
∫x²dx=x²(1/2)e^(2x)-∫(1/2)e^(2x)2xdx=(1/2)x²e^(2x)-∫(e^(2x))xdx (3)
3) вычислим отдельно ∫(e^(2x))xdx
u=x, du=dx, dv=e^(2x)dx так же как и в п.1) v=(1/2)e^(2x)
∫(e^(2x))xdx=x(1/2)e^(2x)-∫(1/2)e^(2x)dx=(x/2)e^(2x)-(1/2)∫e^(2x)dx=(x/2)e^(2x)-(1/2)(1/2)∫e^(2x)d(2x)=(x/2)e^(2x)-(1/4)e^2x (4)
теперь вычисленные интегралы подставим (4) в (3) а (3) в (2)
∫x³e^(2x)dx=(1/2)x³e^(2x)-(3/2)[(1/2)x²e^(2x)-{(x/2)e^(2x)-(1/4)e^(2x)}]+c
=(1/2)x³e^(2x)-(3/4)x²e^(2x)+(3/4)x^(2x)-(3/8)e^(2x)+c , где с-любое число