Решите уравнение 2cos^2 x +5cosx+3=0

Решаем с помощью подстановки и приведению к квадратному уравнению:
$t=\cos x\ \Rightarrow -1\leq t\leq 1$
Очень важно указать область определения $t$ ! Вполне возможно, что корни квадратного уравнения не определены в исходной функции.

$2t^2+5t+3=0\\ t_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{4}\\ t_1=-1\\ t_2=-\frac{3}{2}$
Получили два корня квадратного уравнения, но из-за условия $-1\leq t\leq1$ видно, что $t_2=-\frac{3}{2}$ нам не подходит.
Действительно, $\cos x=-\frac{3}{2}$ - не имеет решения.

Подходящий корень: $t=-1$ .
Подставляем обратно функцию:
$\cos x=-1\Rightarrow\ x=\pi+2\pi k\Big\ |\ k\in\mathbb{Z}$

Ответ: $x=\pi+2\pi k\Big\ |\ k\in\mathbb{Z}$