Интеграл (x^2*dx)/(x^3+8)

Решение подстановкой в аргумент.

Определяем функцию:
$\alpha(x)=x^3+8\\ \frac{d\alpha}{dx}=3x^2\Rightarrow d\alpha=3x^2dx$

Подставляем в интеграл:
$\int \frac{x^2}{x^3+8}dx=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2dx}{x^3+8}=\frac{1}{3}\int\frac{d\alpha}{\alpha}$
Получили мгновенный интеграл по $\alpha$ .
Решаем: $\int\frac{d\alpha}{\alpha}=\ln|\alpha|$
Подставляем обратно как функцию $x$ :
$\ln|\alpha|=\ln|x^3+8|$

Ответ: $\int\frac{x^2}{x^3+8}dx=\frac{1}{3}\ln|x^3+8|+\mathbf{C}$