Lim (sin xy/x) x→0 y→2

Question

Дан 1 ответ

M0RDOK_zn · Answer 1 · 2018-04-26T10:08:07+0000

$\frac{\sin(xy)}{x}=y\frac{\sin(xy)}{xy}\\$
Определяем $\alpha(xy)=xy\Rightarrow\ \alpha\underset{\left(x,y\right)\to\left(0,2\right)}{\longrightarrow}0$
Тут предел простой: функция непрерывна, потому просто подставляем значения $(x,y)=(0,2)$ и получаем результат.

Преобразуем исходный предел по $\alpha$ :
$\underset{(x,y)\to(0,2)}\lim \frac{\sin(xy)}{x}=\underset{(\alpha,y)\to(0,2)}\lim y\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}$

А вот тут мне не хватает теоремы, по которой я могу устремить значения $x$ и $\alpha$ по отдельности (типа теоремы Фубини для интегралов), если упустить ПОЧЕМУ можно переделы менять местами, получим:

$\underset{(\alpha,y)\to(0,2)}\lim y\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}=\underset{\alpha\to0}\lim\Big(\underset{y\to2}\lim \frac{\sin(\alpha)}{\alpha}y\Big)=\underset{\alpha\to0}\lim2 \frac{\sin(\alpha)}{\alpha}=2$

-----------------------------
Есть другой вариант, не требует теорему, только неравенство $|\sin (\alpha)|\leq\alpha$ для любых $\alpha\to0$ .

Я докажу что предел функции $f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x}-2$ равен нулю, отсюда получим предел из примера.

Доказательство:
$\Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\leq\Big|\frac{xy}{x}-\frac{2x}{x}\Big|=\Big|\frac{xy-2x}{x}\Big|=\Big|\frac{x}{x}(y-2)\Big|$
На проколотой области $(-\delta,\delta)\setminus\{0\}$ $x\neq0$ , значит, можем спокойно сократить и получим:
$\Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\leq\Big|y-2\Big|$
Понятно, что $|y-2|\underset{(x,y)\to(0,2)}\longrightarrow 0$ .
Из теоремы: $\lim\big|f(x)\big|=0\Rightarrow\lim f(x)=0$ получаем:

$\Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\leq|y-2|\underset{(x,y)\to(0,2)}\longrightarrow 0\Rightarrow\ \Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\underset{(x,y)\to(0,2)}\longrightarrow 0$

Следовательно: $\underset{(x,y)\to(0,2)}\lim \frac{\sin(xy)}{x}-2=0\Rightarrow\underset{(x,y)\to(0,2)}\lim \frac{\sin(xy)}{x}=2$

Теперь, всё точно.