Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все...

Question

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а осталньые числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 10, 11. а)Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. б)Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 22? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 5, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 29

Answer 1

с6

а) 1 2 3 4

б) нет. Док-во: минимальное число 1, значит, 1 задумана. Сумма всех чисел равна 22. На доске должна присутствовать и сумма всех чисел без первого числа, которое равно 1. Сумма всех = 22, сумма всех без первого равна 22-1=21, а её на доске нет. Противоречие.

в) Минимальное число 5, значит меньше 5 не загадывали. Сумма всех 29.

Итак, 5 загадано. Дальше 6. Или просто выписана 6, или загадана 1 и 5, но 1 не выписана, значит загадана 6. Аналогично 8.

Итак, на данный момент загаданы 5, 6, 8.

Следующее число 10. Или оно просто загадано. 5, 6, 8, 10. Сумма чисел = 29. Непосредственно надо проверить, что все числа выпишутся на доску. Поверь, выпишутся.

Но 10 могла получится и из двух загаданныз 5. 5 5 6 8. Суумма чисел = 24, не хватает 5, значит 5 была загадана трижды: 5 5 5 6 8. Проверяем ручками все ли числа выпишутся - и, о чудо!!! - все!

Больше наборов нет, так как иначе сумма привысит 29.

Ответ: 5 6 8 10; 5 5 5 6 8