R=S/p; (1)
a - катеты; с - гипотенуза;
площадь равна половине произведения катетов;
S=a^2/2; (2)
p=(a+a+c)/2=(2a+c)/2; (3)
по теореме Пифагора:
c^2=a^2+a^2;
c=a√2; (4)
подставим (2), (3) и (4) в (1):
r=a^2/2 * 2/(2a+c)=a^2/(2a+c)=
a^2/(2a+a√2)=a/(2+√2);
найдем отношение радиуса к гипотенузе:
r/c=a/(2+√2) : a√2=1/√2(2+√2)=
1/(2√2+2)=(2√2-2)/(2√2-2)(2√2+2)=(2√2-2)/(8-4)=2(√2-1)/4=0,5√2-0,5=√0,5-0,5;