Докажите, что

1) Пусть arctanx = α, тогда x = tanα, нужно найти sin(arctanx) = sinα.
$1+tan^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2} \alpha }$
$1+tan^{2} \alpha = \frac{1}{1 - sin^{2} \alpha }$
выразим отсюда sinα:
$sin^{2} \alpha = 1 - \frac{1}{1 + tan^{2} \alpha }$
$sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{1+tan^{2} \alpha } } = \sqrt{ \frac{tan^{2} \alpha }{1+tan^{2} \alpha }} = \frac{tan \alpha }{ \sqrt{1+tan^{2} \alpha } } = \frac{x}{ \sqrt{1+x^{2}} }$ что и т.д.

2) Пусть arcсosx = α, тогда x = cosα, нужно найти tan(arccosx) = tanα.
$1+tan^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2} \alpha }$
$tan^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2} \alpha } - 1$
$tan \alpha = \sqrt{\frac{1}{cos^{2} \alpha } -1}$
$tan \alpha = \sqrt{\frac{1}{cos^{2} \alpha } -1} = \sqrt{\frac{1 - cos^{2} \alpha }{cos^{2} \alpha }} = {\frac{ \sqrt{1 - cos^{2} \alpha }}{cos \alpha }} = {\frac{ \sqrt{1 - x^{2}}}{x}}$ что и т.д.