Дан четырёхугольник ABCD с равными противолежащими сторонами.
Доказать, что он параллелограмм.
1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
1) AB=CD (по условию)
2) BC=AD (по условию)
3) сторона AC- общая
Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по трем сторонам).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAB=∠ACD и ∠ACB=∠CAD.
4. ∠CAB и∠ACD — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC.
Так как ∠CAB=∠ACD, то прямые параллельны: AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).
Аналогично, из равенства углов ∠ACB=∠CAD следует параллельность другой пары прямых: AD ∥ BC.
5. Доказали, что в четырехугольнике ABCD
1) AB ∥ CD
2) AD ∥ BC.
Следовательно, ABCD — параллелограмм.
Доказано.