какая доля радиоактивных ядер некоторого элемента распадается за время равное половине...

Дано:
t=T/2.

N/N0=?
N1=?

______

Решение:

Записываем закон радиоактивного распада:
$N=N0*2^\frac{-t}{T};\\$

Где N - число оставшихся радиоактивных атомов.

N0 - число радиоктивных атомов в начальный момент времени. (В решении примем за 1, т.к. нам нужно узнать, какая доля ядер распадается за t).

Преобразуем 2^(-t/T):
$2^\frac{-t}{T}=2^\frac{\frac{-T}{2}}{T}=2^\frac{-T}{2T}=2^\frac{-1}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}};\\$

Получаем:

$N=N0*\frac{1}{\sqrt{2}};\\ N=\frac{N0}{\sqrt{2}};\\$

Доля распавшихся за t времени же равна, как разность между числом радиоактивных атомов в начальный момент времени и числом оставшихся радиоактивных атомом:
$N1=N0-N;\\ N=\frac{N0}{\sqrt{2}};\\ N1=N0-\frac{N0}{\sqrt{2}};\\ N0=1;\\ N1=1-\frac{1}{\sqrt{2}};\\ N1=1-\frac{\sqrt{2}}{2};\\ N1=\frac{2-\sqrt{2}}{2};\\$

Считаем:

N1=(2-√2)/2=(2-1,414)/2=0,586/2=0,29.

Ответ: N1=0,29. - такая часть радиоактивных атомов распадается, за время равное половине периода полураспада.