№1
x²/3 >= (3x+3)/4
Неравенство второй степени. Такие наравенства удобно решать переносом всех слагаемых в левую часть неравенства и использования метода интервалов.
x²/3 - (3x + 3)/4 >= 0
Для удобства умножим левую и правую часть неравенства на 12. Число 12 положительное, значит, знак неравенства сохраняется.
4x² - 3*(3x + 3) >= 0 (1)
4x² - 9x - 9 >= 0
Найдем нули квадратичного трехчлена 4x² - 9x - 9 и разложим его на множители
по известной формуле ax²+bx+c) = a*(x-x₁)*(x-x₂).
4x² - 9x - 9 = 0
D = (-9)² - 4*4*(-9) = 225
x₁ = (9 + 15)/(2*4) = 3
x₂ = (9 - 15)/(2*4) = -3/4
Т.е. 4x² - 9x - 9 = 4*(x-3)*(x+3/4)
Или можно записать (x-3)*(x+3/4) >= 0 (2)
Рисуем числовую прямую, обозначаем на ней нули x₁ и x₂ и исследуем знак квадратичного трехчлена на полученных промежутках (-∞;-3/4); (-3/4;3); (3;+∞)
Берем любое число из каждого промежутка и подставляем в (1) или (2) и смотрим какой знак получается.
____+__._____-_______.___+____>
-3/4 3 x
Нам нужны промежутки, где квадратичный трехчлен >= 0, т.е. (-∞;-3/4] и [3;+∞)
Ответ: (-∞;-3/4]∨[3;+∞)
№2
Это задача на движение на составление уравнения. В задачах на движение используется известная формула S=V*t. В задачах на движение часто за x обозначают то, что требуется найти по условию задания.
Пусть V(A)= x км/ч - это скорость пешехода из п. А, тогда V(B)= (x-1) км/ч - это скорость пешехода из п. В. Пешеходы встретились в 9 км от п. А. Т.е. путь, который преодолел пешеход из п. А S(A)= 9км, а путь пешехода из п. В S(В)=19км-9км=10км. Еще известно, что пешеход из п. А сделал в пути получасовую остановку tост=1/2ч. Тогда, на свой путь пешеход из п. В затратил время t(B)=S(B)/V(B), t(B)=10/(x-1) ч, а пешеход из п. А t(A)=S(A)/V(A)+tост, t(A)=(9/x + 1/2) ч. Очевидно, что оба пешехода были в пути одно и тоже время, т.е. t(A)=t(B). Или составим уравнение
9/x + 1/2 = 10/(x-1)
(18+x)/(2x) = 10/(x-1)
(18+x)/(2x) - 10/(x-1) = 0
((18+x)*(x-1)-20x)/((2x)*(x-1))=0
(18+x)*(x-1)-20x = 0
18x+x²-18-x-20x = 0
x²-3x-18=0
D=81
x₁ = (3-9)/2 = -3
x₂ = (3+9)/2 = 6
По смыслу задачи нам подходит корень x₂ = 6
Ответ: 6 км/ч
№3
Задачи такого типа сводятся к решению системы уравнений
y=-2x+p,
y=x²+2x.
Или можно записать
-2x+p=x²+2x
x²+2x+2x-p=0
x²+4x-p=0
D=16+4р.
Нам нужно найти значение p при котором прямая y=-2x+p и парабола y=x²+2x имеют одну общую точку. Это соответсвует в итоге тому, что квадртное уравнение x²+4x-p=0 должно иметь один корень. А это возможно когда D=0 или
16+4p=0
p=-4.
Получаем уравнение прямой y=-2x-4.
Ответ: p=-4
№4
Без рисунка. Рисунок вы сделаете. Это не проблема. Трапеция равнобокая. Отмечу лишь, что большее основани - AD, меньшее основание - ВС.
Из рисунка видно, что
AH=AD-HD (1)
Если мысленно провести еще одну высоту из вершины B, то можно заметить
HD=(AD-BC)/2 (2)
Подставляем (2) в (1)
AH=AD-(AD-BC)/2
AH=AD-AD/2+BC/2
AH=AD/2+BC/2
AH=(AD+BC)/2 - это средняя линия
AH=16
Ответ: AH=16
№5
Без рисунка.
Т.к. точки M,N,K середины сторон ABC, то можно записать АМ=МВ=BN=NC=КС=AK.
Рассмотрим отрезок MN. Т.к. точки M и N середины сторон AB и BC, то MN-средняя линия ABC. MN=1/2*АС=АК=КС =АМ=МВ=BN=NC
Точно также KN=1/2*AB=АМ =МВ=BN=NC=КС=AK
MK=1/2*BC=BN=NC =АМ=МВ=КС=AK
Т.е. MN=KN=MK и треугольник MNK - равносторонний.
№6
Для удобства введем обозначения:
катет AC - b
катет BC - a
гипотенуза AB - c
высота СР - h
AP - bc
PB - ac
угол ВАС - угол 1
угол АВС - угол 2
r1 - радиус окружности вписанной в треугольник АВС
r2 - радиус окружности вписанной в треугольник BCP
Тогда, r2=8; tg1=4/3
Для радиуса вписанной окружности в треугольник АВС запишем известное выражение
r1=(b+a-c)/2 (1)
Для радиуса вписанной окружности в треугольник BCP запишем известное выражение
r2=(h+ac-a)/2 (2)
Когда из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу, то известны соотношения
h=√(ac*bc) (3)
b=√(bc*c) (4)
a=√(ac*c) (5)
Подставим (3), (4), (5) в (1) и (2)
r1=(√(bc*c)+√(ac*c)-с)/2 (6)
r2=(√(ac*bc)+ac-√(ac*c))/2 (7)
Найдем отношение (6) к (7)
r1/r2 = (√(bc*c)+√(ac*c)-с)/(√(ac*bc)+ac-√(ac*c))
Из числителя вынесем общий множитель √с из знаменателя √ac
r1/r2=(√с/√ac)*(√bc+√ac-√с)/(√bc+√ac-√c)
r1/r2=√с/√ac
с/ac=(r1/r2)² (8)
Далее
tg1=h/bc=h/(c-ac)
tg2=h/ac
tg2/tg1=(h/ac)/(h/(c-ac))
или
tg2/tg1=(c-ac)/ac
tg2/tg1=с/ac-1 (Но tg2=ctg1=1/tg1)
с/ac=1+1/tg²1 (9)
Сопоставим (8) и (9) и получим
(r1/r2)²=1+1/tg²1
r1/r2=√(1+1/tg²1)
r1=r2*√(1+1/tg²1)=8*√(1+1/(4/3)²)=8*√(1+9/16)=8*√(25/16)=8*5/4=10
r1=10
Ответ:10
Как-то так. Ух...заморился)