Оба предложения грамматически правильны, но у них совершенно разный смысл:
1.What do you like?- С этим предложением всё просто. Это специальный вопрос, время-Present Simple. Переводится : Что ты любишь?Вариантами ответа на такой вопрос будут I like..(cats,dogs,tennis......)
2.What are you like?-Тоже вопросительное предложение, также общий вопрос. Используется в британском варианте английского языка в разговорной речи. Переводится(с выражением удивления, часто неодобрительно)1)На кого ты похож? 2)Какой ты? 3)А сам ты какой?
Но если задать подобный вопрос про третье лицо, то в этом случае оттенок неодобрения уходит. ( What is she like?-Какая она?)