Помогите пожалуйста!!!!Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Для начала найдём общее решение однородного уравнения:
y''+2y'+5y=0
Характеристическое уравнение:
λ²+2λ+5=0
D=4-20=-16
√D=4i
λ₁= (-2+4i)/2 = -1+2i
λ₂= (-2-4i)/2 = -1-2i
Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:
$y_{ob}=e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))$

Теперь найдём частное решения неоднородного уравнение. Оно будет искаться в виде:
$\bar{y}=Ax+B\\\bar{y}'=A\\\bar{y}''=0$
Подставляем и находим коэффициенты:
$\bar{y}''+2\bar{y}'+5\bar{y}=5x+7\\0+2A+5(Ax+B)=5x+7\\(5A)x+(2A+5B)=5x+7$
Коэффициенты при соответствующих степенях должны быть одинаковыми:
$(5A)x+(2A+5B)=5x+7\\ \left \{ {{5A=5} \atop {2A+5B=7}} \right. \rightarrow \left \{ {{A=1} \atop {B=1}} \right.$
Получаем частное решение неоднородного:
$\bar{y}=Ax+B=x+1$

Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
$y=y_{ob}+\bar{y}=e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+x+1$

$y(0)=2\\e^{-0}*(C_1cos(2*0)+C_2sin(2*0))+0+1=2\\1*(C_1*1+C_2*0)+1=2\\C_1=1$

$y'=(e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+x+1)'=\\=-e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+e^{-x}*\\ *(-2C_1sin(2x)+2C_2cos(2x))+1\\\\y'(0)=0\\-e^{-0}*(C_1cos(2*0)+C_2sin(2*0))+e^{-0}*\\ *(-2C_1sin(2*0)+2C_2cos(2*0))+1=0\\-1*(C_1*1+C_2*0)+1*(-2C_1*0+2C_2*1)+1=0\\-C_1+2C_2=-1\\-1+2C_2=-1\\C_2=0$

Ответ:
$y=e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+x+1=\boxed{e^{-x}cos(2x)+x+1}$

red321_zn (10.1k баллов) 29 Апр, 18