Решить уравнение tgx+ctgx+tg²x+ctg²x+tg³x+ctg³x=6

0 голосов
184 просмотров

Решить уравнение tgx+ctgx+tg²x+ctg²x+tg³x+ctg³x=6


Алгебра (15 баллов) | 184 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Решение во вложении--------------------------

(275k баллов)
0

Каким редактором формул пользуетесь?

0

не знаю. могу на почту (в личку напишите адрес, если желаете) " сбросить" один документ (какое-нибудь решение), потом его копировать.

0 голосов

ОДЗ: \sin x \ne 0;\,\,\,\, \cos x\ne 0

Положим tg x+ctgx=a,\,\,\,\,\,tg^2x+ctg^2x=a^2-2,\,\,\,\,\,\,tg^3x+ctg^3x=a^3-3a. Тогда

a^3+a^2-2a-8=0\\ (a^3-8)+(a^2-2a)=0\\ (a-2)(a^2+2a+4)+a(a-2)=0\\ (a-2)(a^2+3a+4)=0

Отсюда имеем a-2=0;\,\,\, a=2
a^2+3a+4=0\\ D=b^2-4ac=9-16\ \textless \ 0

Тогда tg x+ctg x=2|\cdot tg x\\ tg^2x-2tg x+1=0\\ (tg x-1)^2=0\\ tg x = 1\\ x= \frac{\pi}{4} +\pi n,n \in Z



Ответ: \frac{\pi}{4} +\pi n,n \in Z

0

огромное спасибо!

0

Да проще же все! Если tgx>0, то tgx+ctgx>=2, tg^2x+ctg^2x>=2 и tg^3x+ctg^3x>=2, а значит сумма может равняться 6, только тогда когда каждая пара равна 2, то есть при tgx=1. если же tgx<0, то левая часть меньше или равна -2 и решений нет.

0

моё решение более надёжное

0

Оно более длинное, вот и все