Решить уравнение tgx+ctgx+tg²x+ctg²x+tg³x+ctg³x=6

ОДЗ: $\sin x \ne 0;\,\,\,\, \cos x\ne 0$

Положим $tg x+ctgx=a,\,\,\,\,\,tg^2x+ctg^2x=a^2-2,\,\,\,\,\,\,tg^3x+ctg^3x=a^3-3a$ . Тогда

$a^3+a^2-2a-8=0\\ (a^3-8)+(a^2-2a)=0\\ (a-2)(a^2+2a+4)+a(a-2)=0\\ (a-2)(a^2+3a+4)=0$

Отсюда имеем $a-2=0;\,\,\, a=2$
$a^2+3a+4=0\\ D=b^2-4ac=9-16\ \textless \ 0$

Тогда $tg x+ctg x=2|\cdot tg x\\ tg^2x-2tg x+1=0\\ (tg x-1)^2=0\\ tg x = 1\\ x= \frac{\pi}{4} +\pi n,n \in Z$

Ответ: $\frac{\pi}{4} +\pi n,n \in Z$