Помогите решить уравнение.........

Question 1

Question 2

Обозначим $x=x_1;\,\,\, \sqrt{6-x} =y_1;\,\,\, x_2=2;\,\,\,\, \sqrt{x+2}=y_2$

За неравенством Коши-Буняковского:
$x \sqrt{6-x} +2 \sqrt{x+2} \leq \sqrt{x^2+2^2} \cdot \sqrt{(6-x)^2+(x+2)^2} = \sqrt{8} \sqrt{x^2+4}$

В неравенстве Коши-Буняковского имеет место знак равенства, когда $x_1,x_2$ является пропорциональным $y_1,y_2$

$\begin{cases} & \text{ } x= 2 \beta \\ & \text{ } \sqrt{6-x}= \beta \sqrt{x+2} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x=2 \beta \\ & \text{ } 6-x= \beta ^2(x+2) \end{cases}\\ \\6-2 \beta = \beta ^2(2 \beta -2)\\ \beta ^3+ \beta ^2+ \beta -3=0$
Не трудно подобрать корень $\beta =1$
$( \beta -1)$ делим на $\beta ^3+ \beta ^2+ \beta -3$ , получим:

$\beta ^2+2 \beta +3$

$( \beta -1)( \beta ^2+2 \beta +3)=0\\ \beta =1$

Уравнение $\beta ^2+2 \beta +3=0$ действительных корней не имеет.

$x=2 \beta =2\cdot1 =2$

Ответ: $2.$

аноним · Answer 1 · 2018-04-29T08:29:13+0000

Обозначим $x=x_1;\,\,\, \sqrt{6-x} =y_1;\,\,\, x_2=2;\,\,\,\, \sqrt{x+2}=y_2$

За неравенством Коши-Буняковского:
$x \sqrt{6-x} +2 \sqrt{x+2} \leq \sqrt{x^2+2^2} \cdot \sqrt{(6-x)^2+(x+2)^2} = \sqrt{8} \sqrt{x^2+4}$

В неравенстве Коши-Буняковского имеет место знак равенства, когда $x_1,x_2$ является пропорциональным $y_1,y_2$

$\begin{cases} & \text{ } x= 2 \beta \\ & \text{ } \sqrt{6-x}= \beta \sqrt{x+2} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x=2 \beta \\ & \text{ } 6-x= \beta ^2(x+2) \end{cases}\\ \\6-2 \beta = \beta ^2(2 \beta -2)\\ \beta ^3+ \beta ^2+ \beta -3=0$
Не трудно подобрать корень $\beta =1$
$( \beta -1)$ делим на $\beta ^3+ \beta ^2+ \beta -3$ , получим:

$\beta ^2+2 \beta +3$

$( \beta -1)( \beta ^2+2 \beta +3)=0\\ \beta =1$

Уравнение $\beta ^2+2 \beta +3=0$ действительных корней не имеет.

$x=2 \beta =2\cdot1 =2$

Ответ: $2.$