В равнобедренном треугольнике ABC AB=AC, AB=6, cosB=корень из 3/2..НАйдите его площадь))...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Углы B и C в рассматриваемом равнобедренном треугольнике равны (как углы между основанием и равными рёбрами). Их градусную меру можно определить через известное значение косинуса

$arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = 30°.$

Площадь треугольника найдём как сумму двух одинаковых площадей прямоугольных треугольников. Для этого проведём из вершины A высоту на основание BC. Эта высота AF для равнобедренного треугольника будет также биссектрисой угла A и медианой, делящей основание BC пополам.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°. Значит, угол A будет равен 180° - 30° - 30° = 120°. Половина угла равна 60°.

Итак, имеем два равных треугольника ABF и ACF с углами B=C=30° и гипотенузами AB=AC=6. Высоту AF найдём как произведение гипотенузы AB на косинус угла BAF = 0,5 углов A = 60°: AF = 6 · 0,5 = 3. Половину основания найдём из теоремы Пифагора:

$AF^2 + BF^2 = AB^2 \; \Rightarrow \; BF = \sqrt{AB^2 - AF^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

Проверим, зная косинус угла B:

$BF = AB \cdot cos B = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Полная площадь равнобедренного треугольника равна сумме площадей равных треугольников ABF и ACF. Получим:

$S = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot BF \cdot AF = BF \cdot AF = 3\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}$

ХорошийМатематик_zn (1.3k баллов) 11 Март, 18