Доказать, что функция у=f(x) является периодической с периодом , если: 1) 2)

0 голосов
55 просмотров

Доказать, что функция у=f(x) является периодической с периодом 2 \pi , если:
1) y=sin(x- \frac{ \pi }{4} )
2)y=cos(x+ \frac{2 \pi }{3} )

Алгебра (1.2k баллов) | 55 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Докажем за определением периодической функции:
f(x) = f(x + T) = f(x − T)

(условие на область определения оно выполняется, так как синус и косинус определены на множестве всех действительных числе)

1) покажем, что выполняется sin(x-\frac{\pi}{4})=sin(x-\frac{\pi}{4}+2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4}-2\pi)
Это и будет означать за определением в случае синуса, что функция 
sin(x-\frac{\pi}{4}) периодична с периодом 2\pi.

sin(x-\frac{\pi}{4}+2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4})cos(2\pi)+cos(x-\frac{\pi}{4})sin(2\pi)=
=sin(x-\frac{\pi}{4})*1+cos(x-\frac{\pi}{4})*0=sin(x-\frac{\pi}{4})

sin(x-\frac{\pi}{4}-2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4})cos(2\pi)-cos(x-\frac{\pi}{4})sin(2\pi)=
=sin(x-\frac{\pi}{4})*1-cos(x-\frac{\pi}{4})*0=sin(x-\frac{\pi}{4})

Доказано

2) cos(x+\frac{2\pi}{3}+2\pi)=cos(x+\frac{2\pi}{3})cos(2\pi)-sin(x+\frac{2\pi}{3})sin(2\pi)=
=cos(x+\frac{2\pi}{3})*1-sin(x+\frac{2\pi}{3})*0=cos(x+\frac{2\pi}{3})

cos(x+\frac{2\pi}{3}-2\pi)=cos(x+\frac{2\pi}{3})cos(2\pi)+sin(x+\frac{2\pi}{3})sin(2\pi)=
=cos(x+\frac{2\pi}{3})*1+sin(x+\frac{2\pi}{3})*0=cos(x+\frac{2\pi}{3})

Доказано

(30.4k баллов)
Похожие задачи