1. 0,1^x^2-2=3. Здесь мы не можем ничего сделать, поэтому воспользуемся понятием логарифма loga(b)=c.
Имеем: 0,1^x^2-2=3 <=> log0,1(3)=x^2-2 <=> log0,1(3)+2=x^2 <=>log01,(3)+log0,1(0,1^2)=x^2 <=> log0,1(3)+log0,1(0,01)=x^2 <=> log0,1(0,03)=x^2 <=> x=+-sqrt{log0,1(0,03)}.
Ответ: +-sqrt{log0,1(0,03)}.
2. 4^(x+1)+5=24•2^x-1 <=> 4•4^x-24•2^x/2+5=0 <=> 4•2^2x-12•2^x+5=0. Пусть 2^x=t.
Имеем: 4t^2-12t+5=0; D=144-80=64; х1,2=12+-8/8 <=> х1=2,5, х2=1/2.
Возвращаемся к замене 2^х=2,5 и 2^х=1/2.
1) 2^х=2,5 <=> x=log2(2,5);
2) 2^x=1/2 <=> 2^x=2^-1 <=> x=-1.
Ответ: (log2(2,5); -1).
5. Для начала запишем ОДЗ, и забудь про него до конца преобразования. Имеем: x>0, x не равно 1, х не равно 0 <=> {х>0, х не=1.
И так, поехали
log2(x)>=2/x <=> log2(x)>=log2(4)/logx(x^x) <=> log2(x)-log2(4)/logx(x^x)>=0 <=> log2(x)•logx(x^x)-log2(4)/logx(x^x)>=0;
log2(x^x)-log2(4)/logx(x^x)>0;
log2(x^x/4)/logx(x^x)>=0 <=> logx(x^x)•log2(x^x/4)>=0 <=> logx(x^x)•log2(x^x)-logx(x^x)•log2(4) >=0 <=> x(log2(x)•logx(x)-2logx(x^x)=log2(x^x)-2x>=0 <=> log2(x^x)>=2x <=> log2(x^x)>=2x <=> x^x>=2x {x>1; x>=2.
Это задание можно решить многими способами. Советую его хорошо порешать (начиная с log2(x^x/4)/logx(x^x)>=0, где идея понята).