В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро...

Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2 √2 . На рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки M , N и
K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 2 .
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC . Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

Answer 1

1) MN = √(2²+(2√2)²) = √(4+8) = √12 = 2√3.
    NK = √(2²+4²-2*2*4*cos60°) = √(4+16-16*(1/2)) = √(20-8) =
         = √12 = 2√3.
Отрезок ML равен NK по свойству секущей плоскости параллельных плоскостей (граней призмы).
Аналогично, KL равно MN.

Доказано, что стороны MNKL равны.
Осталось доказать, что диагонали этого четырёхугольника равны, - тогда он будет квадратом.

Диагональ MK = √(4²+(2√2)²) = √(16+8) = √24 = 2√6.
Аналогично NL = √(4²+(2√2)²) = √(16+8) = √24 = 2√6.

Доказано, что MNKL - квадрат.

2) В сечении призмы плоскостью MNK имеем пятиугольник.
Эту фигуру можно разделить на квадрат MNKL (его площадь S1) и равнобедренный треугольник KPL (S2) :
    S1 = (2√3)² = 12 кв.ед.
Для определения площади треугольника надо найти длины сторон.
Точка Р делит сторону СС1 пополам.
КР = PL = √(2²+(√2)²) = √(4+2) = √6.
KL принимаем равным MN = 2√3.
Площадь S2 находим по формуле Герона:
S2 = √p(p-a)(p-b)(p-c)).
Здесь р - полупериметр треугольника KPL и равен он 4,1815406.
Подставив значения сторон, находим:
S2 = 3.
Отсюда искомая площадь сечения (то есть пятиугольника) равна:
S = S1 + S2 = 12 + 3 = 15 кв.ед.

Comments

Для определения площади треугольника можно воспользоваться известными величинами: KL=2√3 (основание), h= (Habc-NK)=(√3*6/2(формула высоты правильного треугольника)-2√3)=√3. Skpl=(1/2)*KL*h=3.