Если xy+yz+zx=16 найдите найменший значение: (x+y+z)^2

Question

Если xy+yz+zx=16 найдите найменший значение: (x+y+z)^2

Answer 1

Обозначим : A=xy+yz+zx, B=x^2+y^2+z^2
По условию А=16
Заметим :  (x-у)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2B-2A=>0 (=>  - означает больше , либо равно).
Значит наименьшее значение В=А (если оно достижимо).
(x+y+z)^2=B+2A
Значит минимальное значение последнего выражения 3*А, т.е. 3*16=48
Теперь надо убедиться, что равенство В=А достижимо. Для этого достаточно положить х=у=z и х=4/sqrt(3).    sqrt - корень квадратный.
Ответ: 48

Comments

Мы договорились, что из Клши Буняковского -векторы коллинеарны. Значит их векторное произведение равно 0. Значит х*х=z*y, z*z=yx,y*y=xz Отсюда сразу искомое 48. Наверное, можно и проще, но это сразу приходит в голову.

---

Красиво и оригинально подпереть Буняковским снизу :) Один момент остался: x=4/sqrt(3)=>x^2=16/3=>3x^2=16 не 48. Но это уже мелочь. Жаль - поправить нельзя, может модератору напишете? Будет жаль если решение векторным произведением пропадёт

---

А в идеале, ещё и с экстремумом. Как наглядный пример длинного и оригинального подходов ))

---

1)3*(4/sqrt(3))^2=16, а (x+y+z)^2=16+32=48, 2) В решении с векторным произведением не используется равенство х=у=z, а только три равенства типа : x^2=yz. Отсюда вытекают те же 48. 3) Модераторам , может, и напишу, но лучше, если Вы отметите Ошибку. Тогда я должен буду исправить. Я не обижусь.) Спасибо!

---

Обязуюсь написать более простое (совсем элементарное) решение!)

---

Тогда с (1)-(2) у меня проблемы: лагранжианом получаю именно x=y=z. Следует из уравнений lx=ly; lx=lz; ly=lz. Заодно там получаем и l=/=0

---

Жаль, функицю нарисовать нельзя :((

---

Исправил наспех с ошибкой. В предпоследнем выражении 2В-2А

---

Исправил. Если х=у=z, то 48 и получается, посчитайте аккуратнее.

---

Таки - да, тройку в квадрат поднять забыл...