Раскроем левую часть равенства:
(ax)^2+(bx)^2+(cx)^2+(ay)^2+(by)^2+(cy)^2+(az)^2+(bz)^2+(cz)^2
Раскроем правую часть равенства:
(ax)^2+(by)^2+(cz)^2+2axby+2bycz+2axcz
Так как a/x=b/y=c/z, то bx=ay, bz=cy, az=cx.
В левом и правом выражениях доказываемого равенства выполним замены bx на ay, bz на cy, az на cx.
Левая часть:
(ax)^2+(bx)^2+(cx)^2+(ay)^2+(by)^2+(cy)^2+(az)^2+(bz)^2+(cz)^2 =
(ax)^2+(ay)^2+(cx)^2+(ay)^2+(by)^2+(cy)^2+(cx)^2+(bz)^2+(cz)^2 =
(ax)^2+2(ay)^2+2(cx)^2+(by)^2+2(cy)^2+(cz)^2 =
(ax)^2+(by)^2+(cz)^2+2((ay)^2+(cx)^2+(cy)^2).
Правая часть:
(ax)^2+(by)^2+(cz)^2+2axby+2bycz+2axcz =
(ax)^2+(by)^2+(cz)^2+2ay*ay+2cy*cy+2cx*cx =
(ax)^2+(by)^2+(cz)^2+2((ay)^2+(cx)^2+(cy)^2).
Видим, что левая и правая части стали равными, что и требовалось доказать.