Помогите. Дан треугольнис ABC. Окружность вписана в треугольник и касается стороны AC в...

Question

Помогите. Дан треугольнис ABC. Окружность вписана в треугольник и касается стороны AC в точке М. Угол ABC = 60
Докажите, что BM меньше утроенного радиуса окружности.

Answer 1

Центр О вписанной окружности - пересечение биссектрис.
Пусть точка Н - точка касания окружности и ВС.
треугольник ВОН прямоугольный, угол ОВН равен 30 градусам. Напротив угла в 30 градусов лежит катет в 2 раза меньше гипотенузы. ОН = r, поэтому гипотенуза BO = 2r.
В треугольнике ВОМ:
ВМ < BO + OM
BO + OM = 2r + r = 3r
Получили 
ВМ < 3R