Решите неравенство 125^x-25^x+ 4×25^x-20/5^x-5<=4

Question

Решите неравенство 125^x-25^x+ 4×25^x-20/5^x-5<=4

Comments

20/5^x-5<=4 а х-5 в степени?

---

Это задание 15 сегодняшнего ЕГЭ по центральному округу)) вот как оно выглядело 125^x - 25^x + (4×25^x + 20)/(5^x + 5)<=4

---

там получается 5^x за t обозначить и решить

---

Это мне одному так кажется или там все же было 4x25^x-20/5^x-5 именно минусы, а не плюсы??

---

Он в комментариях написал плюс. 125^x - 25^x + (4×25^x + 20)/(5^x + 5)<=4

---

Кажется, на ЕГЭ было с минусами..

---

Ну поменяйте плюс на минус и перерешайте сами по тому же методу.

Answer 1

125^x - 25^x + (4×25^x + 20)/(5^x + 5)
Замена 5^x = y > 0 при любом x, тогда 25^x = y^2; 125^x = y^3
y^3 - y^2 + (4y^2 + 20)/(y + 5) <= 4<br>Умножаем на (y + 5) > 0 при любом y > 0 (y > 0 при любом x)
y^4 - y^3 + 5y^3 - 5y^2 + 4y^2 + 20 <= 4y + 20<br>Упрощаем
y^4 + 4y^3 - y^2 - 4y <= 0<br>y(y + 4)(y^2 - 1) <= 0<br>y > 0, y + 4 тоже > 0, поэтому
y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1) <= 0<br>-1 <= y <= 1<br>Но y > 0, поэтому
0 < y <= 1<br>Обратная замена
0 < 5^x <= 1<br>x <= 0<br>

Comments

А разве можно так умножать?

---

Что конкретно вам не нравится?

Answer 2

Вот эта красота, мне решили

Comments

Только как из t^2-5t+4 получилось (t-1)(t-1)(t-4)? Что-то не могу понять.

---

из t^2-5t+4 мы получаем (t-1)(t-4), а (t-1) мы берем исходя из свободного члена, чтобы на на это выражение поделить t^3-6t^2+9t-4, которое мы получили, вынося t за скобки

---

Все,понял. Спасибо.

---

Не за что