Проводник будет тянуться туда, куда внешнее поле тянет положительные заряды. Обычно так: положительно заряженные ядра тянутся в одну сторону, отрицательно заряженные электроны - в другую сторону (это всё одним и тем же полем). Но раз часть электронов забрали, то положительные ядра будут перетягивать, и в целом проводник будет тянуться туда, куда поле тянет положительные заряды.
Кстати, обычно положительные заряды тянут к отрицательно заряженному предмету. Т. е. туда, где можно вернуть электроны, которые кто-то забрал у проводника.
Внутри проводника свободные электроны таки остались. Все электроны у проводника забрать - это ещё сильно постараться надо, это такой заряд будет, что проводник тогда электроны себе из окружающего воздуха вернёт. Так что свободные электроны в проводнике есть. Они рванули туда, куда поле притягивает отрицательные заряды. Выстроились на поверхности и создали поверхностный заряд. Поле этого поверхностного заряда в точности такое, чтобы полностью скомпенсировать внешнее поле внутри проводника. Оно так само получается: пока поле есть - электроны бегут, и при этом перемещаются так, что своим зарядом компенсируют это поле.
В общем, если там можно говорить про поверхность проводника, то на одной поверхности соберётся ещё больший положительный заряд (оттуда ещё электронов убежало), на другой поверхности - заряд будет не такой положительный, как без поля. А если поле сильное - по заряд может стать и отрицательным. А может и не стать - от силы поля зависит, от того, сколько электронов туда должно прибежать, чтобы своим полем скомпенсировать это внешнее внутри проводника.