Решите систему уравнений:

Question 1

Решите систему уравнений: $\left \{ {{(x+y)(x+y-4)=-4,} \atop {(x^2+y^2)xy=-160}} \right.$

Question 2

Если в каждом из уравнений заменить x на y, а y на x система от этого не изменится. Такие системы называют симметричными. Решаются они заменой x+y=t, xy=v. Значит x²+y²=(x+y)²-2xy=t²-2v. Получаем систему:
$\left \{ {{t^2-4t=-4} \atop {t^2v-2v^2=-160}} \right. \\ \left \{ {{(t-2)^2=0} \atop {t^2v-2v^2=-160}} \right. \\ \\ \left \{ {{t=2} \atop {4v-2v^2=-160}} \right. \\ 2v^2-4v-160=0 \\ v=-8, v=10$
Теперь решаем две элементарные системы:
{x+y=2
{xy=-8
и
{x+y=2
{xy=10
Первая система имеет решения: (-2; 4), (4; -2). Вторая система не имеет решений.

KayKosades_zn · Answer 1 · 2018-04-29T10:57:04+0000

Если в каждом из уравнений заменить x на y, а y на x система от этого не изменится. Такие системы называют симметричными. Решаются они заменой x+y=t, xy=v. Значит x²+y²=(x+y)²-2xy=t²-2v. Получаем систему:
$\left \{ {{t^2-4t=-4} \atop {t^2v-2v^2=-160}} \right. \\ \left \{ {{(t-2)^2=0} \atop {t^2v-2v^2=-160}} \right. \\ \\ \left \{ {{t=2} \atop {4v-2v^2=-160}} \right. \\ 2v^2-4v-160=0 \\ v=-8, v=10$
Теперь решаем две элементарные системы:
{x+y=2
{xy=-8
и
{x+y=2
{xy=10
Первая система имеет решения: (-2; 4), (4; -2). Вторая система не имеет решений.