7. Запишем систему в таком виде: {х=6-у; ху=8. Подставим значение икс в уравнение ху=8.
Имеем: у(6-у)=8 <=> 6y-y^2=8 <=> 6y-y^2-8=0 | •(-1) (домножили на –1) <=> у^2-6у+8=0;
D=36-4*8=4;
у1,2=6+-2/2 <=> у1=4, у2=2.
Подставим в исходное уравнение найденные значения:
1) х=6-у=6-4=2;
2) х=6-у=6-2=4.
Ответ: (2;4) или (4;2).
8. Воспользуемся простой формулой P(x)/Q(x)<0 <=> P(x)•Q(x)<0. Здесь нам не нужно писать ОДЗ из-за знаменателя так как у нас строгое равенство, то есть точка х+9=0, х=-9 не входит в решение уравнения. Сейчас увидишь почему. <br>По формуле имеем:
4-x^2/9+x<0 <=> (9+x)(4-x^2)<0. Решим данное неравенство методом интервалов.<br>1. у=(9+х)(4-х^2);
2. D(y)=R;
3. y=0; (9+x)(4-x^2)=0, распадается на совокупность равенств: х=-9 и х=+-2.
4. Наносим нули функции на координатный луч:
+ - + -
--- –9--- –2------2------
Подставив любое значения из промежутков определяем их знаки, и находим нужные нам интервалы.
Ответ: х€(-9;-2)U(2;+беск.)
9. Преобразуем правую часть: (1+tg^2a)*(1-cos^2a)=1/cos^2a*sin^2a=sin^2a/cos^2a=tg^2a, (по основным тригонометрическим тождествам)
tg^2a=tg^2a.
Тождество доказано
10. Нарисовав трапецию, опустим высоты. Рассмотрим, например, правый образовавшийся прямоугольный треугольник. Его катет, который находится на основании, равен 5 (длина этого промежутка равна а-b/2 = 20-10/2=5). Так же, по условию, нам две угол между основанием и боковой стороной. То есть острый угол, который прилегает к этому катету (в задаче сказано, что боковая сторона наклонена к основанию под углом 60°. Мы берём именно угол между стороной и НИжним, БОльшим основанием, потому что в математике условились, что углом между двумя прямыми считается тот, который меньше, то есть нижний).
Из этого треугольника (допустим ABH, Так же, из этого треугольника: BH/AH=tg60° <=> BH/5=sqrt{3} <=> BH=5*sqrt{3}.
Найдём площадь трапеции (ABCD): S(ABCD)=5*sqrt{3}*10+20/2=5*sqrt{3}*15=75*sqrt{3}.
Ответ: 75sqrt{3} см^2.