Помогите решить систему уравнений

Question

Дан 1 ответ

KayKosades_zn · Answer 1 · 2018-04-29T11:18:55+0000

Тэк. Вчера не решил, потому что перепутал знак в одном месте и плутал в трех соснах. Теперь решаю.
Для начала раскладываем второе уравнение системы на множители. Получаем:
$\left \{ {{x^{log_{2} 4x} =log_{25}(1+4y-y^2)\atop {(y-1)(y-1-2x)=0}} \right.$
Отсюда y=-1 или y=2x+1. Ясно что -1 не подходит, потому что основание логарифма в правой части первого уравнения будет отрицательным. Значит y=2x+1. Подставляем это в первое уравнение системы и после преобразований получаем:
$\left \{ {{x^{log_{2} 4x} =log_{25}(-4x^2+4x+4)\atop {(y-1)(y-1-2x)=0}} \right.$
Ясно что первое уравнение не решить обычными методами, поэтому попробуем найти области значений левой и правой части. С правой частью все просто - она меньше или равна 1/2. Найдем область значений левой части. Для этого найдем при каких "а" такое уравнение имеет решение:
$x^{log_{2} 4x}=a$
Навесим логарифм по основанию 2 на обе части, и после преобразований получим:
$log^2_{2}(x)+2log_2x-log_2a=0$
$D=4+4log_2a$
Теперь очевидно что только при D>=0, то есть при a>=1/2 это уравнение имеет решения.
Таким образом левая часть больше или равна 1/2, а правая меньше или равна 1/2. Отсюда получаем что первое уравнение равносильно системе:
$\left \{ {{x^{log_24x}=1/2} \atop {log_{25}(-4x^2+4x+4)=1/2}} \right.$
Отсюда очевиден x=1/2. Дальнейшее ясно, подставляем 1/2 в первое уравнение системы и получаем y=2
Ответ: x=1/2, y=2