Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2,
z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Тогда уравнение плоскости имеет вид:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1)
– (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) +
(z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Точка A2 Точка A3 Точка A4
x
y
z
x y
z
x
y
z
6
1
4 3
-6
10 7
5
4
x-x1
y2-y1
z3-z1
z2-z1
y3-y1
y-y1
x2-x1
x3-x1
z-z1
x-x1
-7
0
6
4
y-y1
-3
1
z-z1
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1)
(x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1)
(y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1)
(y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1)
(x-x1) *
0
(x-x1) *
24
(y-y1) *
0
(y-y1) *
6
(z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1)
(z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1)
(z-z1) *
-12
(z-z1) *
-7
Уравнение
плоскости A2A3A4
x
-x1
0
24
y
y1
0
6
z
z1
-12
-7
-24
144
6
-6
-5
20
-24
x
+
6
y
-
5
z
+
158
=
0 или
24 x - 6 y + 5 z - 158 = 0
Можно получить это же уравнение так:
Уравнение грани А2А3А4 (условно BDC).
| x - Вх y - By z - Bz|
|Dx - Вх Dy - By Dz - Bz| = 0
|Cx - Вх Cy - By Cz - Bz|
|x - 6 y - 1 z - 4|
|7 - 6 5 - 1 4 - 4| =0
|3 - 6 -6 - 1 10 - 4|
x - 6 y - 1 z - 4
1 4 0
-3 -7 6 =
= 24·(x - 6) - 6·(y - 1) + 5·(z - 4) = 24·x - 6·y + 5·z - 158.
Направляющий вектор плоскости: N = {24,-6,5}
Уравнение высоты, опущенной из точки A1 на грань A2A3A4:
имеет вид:
{x + Ax)/Nx = (y + Ay)/Ny = (z + Az)/Nz;
(x + 3)/24 = (y + 6)/-6 = (z + 1)/5.