Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 25...

Question

Дан 1 ответ

Support001_zn · Answer 1 · 2018-04-29T11:30:33+0000

Примитивная задача на формулу Лежандра, кой я нарешал достаточно в своем профиле
(можете посмотреть, там и более сложные формулировки есть).

Формула Лежандра помогает определять вхождение простого в факториал, а произведение последовательных натуральных чисел и есть факториал, то есть:
$1*2*3*4*5...*10 = 10!$ и произносится, как десять факториал.
К самой сути, как же определить кол-во людей в том или ином факториале? - Все просто, достаточно посчитать сколько в это произведение входит простой множитель 5, почему 5? - Потому что с произведением с 2 он дает тот заветный 0, который мы и пытаемся найти. Для примера 5^2*2^2 = 100, т.е. 5^2 два нуля. Есть ещё некая зависимость от двойки, но двойка в факториале встречается чаще 5-ки, поэтому достаточно найти лишь вхождение 5.
Формула простая:
$n!, [n//5]+[n//5^2]+[n//5^3]\ldots[n//5^k], k \in \mathbb{N}$ ,
(// - целочисленное деление)
очевидно, что начиная с определенного слагаемого они будут равны 0 и цепочка прервется.
Посчитаем для нашего примера:
$25, [25//5]+[25//25]+[25/125]\ldots[25/5^k]$ , после k>2, слагаемые равны 0, поэтому получаем $25//5+25//25 = 5+1 = 6$
Тем самым в \prod\limits_{n=1}^{25} n " alt=" \prod\limits_{n=1}^{25} n " align="absmiddle" class="latex-formula"> - 6 нулей.