У=-х^2-2x+5 , y=x+5 вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

Чертим чертёж для наглядности и определения точек пересечения линий графиков функций, а значит определения пределов интегрирования. Помимо точек пересечения график даёт понять какая функция больше для правильного отыскания площади.
Если на отрезке некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми x=a и x=b, можно найти по формуле:
S= \int\limits^b_a {(f(x)-g(x)} \, dx " alt="S= \int\limits^b_a {(f(x)-g(x)} \, dx " align="absmiddle" class="latex-formula">
Итак пределы функции (точки пересечения графиков) нижний предел x=0, верхний предел x=3
В рассматриваемом примере прямая располагается выше параболы, поэтому из x+5 необходимо вычесть x²-2x+5. Подставляем в формулу и находим площадь:
$S= \int\limits^3_0 {(x+5-x^2+2x-5)} \, dx = \int\limits^3_0 {(-x^2+3x)} \, dx$
$=- \frac{x^3}{3}+ \frac{3x^2}{2} |_{0}^{3} = -\frac{3^3}{3}+ \frac{3*3^2}{2}-0=-9+13,5=4,5$ ед².

Ответ: S=4,5 ед².