-2 можно расписать как log1/4(16) (log1/4(16)=log2^2(2^4)=-2log2(2)=-2).
Имеем: log1/4(sqrt{x+3}-x+3)>=log1/4(16)+log1/4(3/8) <=> log1/4(sqrt{x+3}-x+3)>=log1/4(16*3/8) <=> log1/4(sqrt{x+3}-x+3)>=log1/4(6). Прежде чем переходит к неравенству sqrt{f(x)}>=a, запишем ОДЗ: sqrt{x+3}-x+3>0;
Решим данное неравенство методом интервалов:
1. у=sqrt{x+3}-x+3;
2. D(y): x+3>=0 <=> x>=-3; x€[-3;+беск);
3. у=0; sqrt{x+3}-x+3=0 <=> sqrt{x+3}=x-3 (возводим обе части равенства в квадрат) х+3=(х-3)^2 <=> х+3=х^2-6х+9 <=> х^2-7х+6=0; D=49-24=25; x1,2=7+-5/2; [x1=6; x2=1.
Так как это было иррациональное уравнение парной степени, и мы возводили в парную степень, необходимо выполнить проверку.
Проверка:
1) sqrt{6+3}-6+3=0 <=> 3+3-6=0 <=> 0=0;
2) sqrt{1+3}-1+3=0 <=> 2-1+3=0 <=> 4 не=0.
Имеем: х=1 - посторонний корень, значит решением уравнения будет единственный корень, и этот корень х=6.
4. Наносим нули функции на координатный луч:
+ -
—3-------6-------
Определившись со знакомы интервалов, мы определили, что нам подходит промежуток от [-3;6).
Теперь сменяем промежутки первого неравенства. Х не может быть -3, так как при х=-3, подлогарифмическое выражение равно нулю, поэтому точки -3 и 6 выколоты.
Имеем: ОДЗ: х€(-3;6).
Возвращаемся к нашему выражению.
log1/4(sqrt{x+3}-x+3)>=log1/4(6) <=> sqrt{x+3}-x+3>=6 <=> sqrt{x+3}-x-3>=0.
Решим данное неравенство, опять же, методом интервалов.
1. у=sqrt{x+3}-x-3;
2.D(y)=x+3>=0 <=> x>=-3;
3. y=0; sqrt{x+3}-x-3=0 <=> sqrt{x+3}=x+3 (запишем уравнение в данном виде и возведём обе части равенства в квадрат)
Имеем: х+3=(х+3)^2 <=> х+3=х^2+6х+9 <=> х^2+5х+6=0; D=25-24=1; x1,2=-5+-1/2; [x1=-2; x2=-3.
Так как у нас был парный корень, и мы возводили в парную степень, необходимо выполнить проверку.
Проверка:
1) sqrt{-2+3}-(-2)-3=0 <=> 1+2-3=0 <=> 0=0;
2) sqrt{-3+3}-(-3)-3=0 <=> 0+3-3=0 <=> 0=0.
Оба корня прошли проверку, значит они существуют.
4. Наносим нули функции на координатный луч:
+ –
—3---- —2-------
Определились со знаками интервалов и нашли нужные нам, то есть положительные, включая нуди функции.
Теперь смерчем точки данного неравенства с ОДЗ и с условием, что sqrt{x+3}-x+3>0, то есть не рвано нулю.
(–3--------6)
[–3- –2]
Общие точки: (-3;-2].
В самом деле, подставив, например, -2 в исходное выражение мы получаем log1/4(6)=log1/4(6) <=>6=6. То есть нам удовлетворяют все значения от -3 выкалывая, до -2 включительно.
Ответ: х€(-3;-2].