1) Не очень понятно, какой коэффициент у косинуса? это 5cos x ?
2sin^2 x + 5cos x + 3 = 0
Как известно, sin^2 x = 1 - cos^2 x
2 - 2cos^2 x + 5cos x + 3 = 0
Умножаем все на -1.
2cos^2 x - 5cos x - 5 = 0
Квадратное уравнение относительно cos x
D = 25 - 4*2(-5) = 25 + 40 = 65
cos x1 = (5 - √65)/4 ~ -0,765 > -1
x1 = +-arccos((5 - √65)/4) + 2pi*k
cos x2 = (5 + √65)/4 ~ 3,265 > 1
Решений нет
Ответ: +-arccos((5 - √65)/4) + 2pi*k
2) 3cos^2 x + 7sin x - 3 = 0
3 - 3sin^2 x + 7sin x - 3 = 0
3sin^2 x - 7sin x = 0
sin x*(3sin x - 7) = 0
sin x1 = 0; x1 = pi*k
sin x2 = 7/3 > 1; решений нет
Ответ: pi*k
3) sin 5x + sin 3x = 0
2sin ((5x+3x)/2) * cos ((5x-3x)/2) = 0
2sin 4x * cos x = 0
sin 4x = 0; 4x = pi*k; x1 = pi/4*k
cos x = 0; x2 = pi/2 + pi*k - эти корни все входят в корни x1
Ответ: pi/4*k
4) cos 5x - cos 9x = 0
-2sin ((5x+9x)/2) * sin ((5x-9x)/2) = 0
-2sin 7x * sin (-2x) = 0
2sin 7x * sin 2x = 0
sin 7x = 0; 7x = pi*k; x1 = pi/7*k
sin 2x = 0; 2x = pi*k; x2 = pi/2*k
Ответ: pi/7*k; pi/2*k
5) √(5x + 1) + √(7x + 1) = 2
Возводим в квадрат
5x + 1 + 7x + 1 + 2√((5x+1)(7x+1)) = 4
12x + 2 + 2√((5x+1)(7x+1)) - 4 = 0
Делим все на 2
6x - 1 + √((5x+1)(7x+1)) = 0
Выделяем корень
√((5x+1)(7x+1)) = 1 - 6x
По области определения
{ (5x+1)(7x+1) >= 0 (число под корнем)
{ 1 - 6x >= 0 (корень арифметический, то есть неотрицательный)
Получаем
{ x ∈ (-oo; -1/5] U [-1/7; +oo)
{ x ∈ (-oo; 1/6]
Итого x ∈ (-oo; -1/5] U [-1/7; 1/6]
Решаем дальше. Возводим снова в квадрат
(5x+1)(7x+1) = (1 - 6x)^2
35x^2 + 12x + 1 = 36x^2 - 12x + 1
x^2 - 24x = 0
x(x - 24) = 0
x1 = 0 - это корень
x2 = 24 - не попадает в область определения
Ответ: 0
6) и 7) криво написано, я не разбираю.