Найти наибольшее значение функции

Question 1

Question 2

$y= \frac{9^{x}}{4^{x}-6^{x}+9^{x}}$

Преобразуем левую часть равенства, разделив числитель и знаменатель на $9^{x}$ .

$y= \frac{1}{(\frac{4}{9})^{x}-(\frac{6}{9})^{x}+1} = \frac{1}{(\frac{2}{3})^{2x}-(\frac{2}{3})^{x}+1} \\\\t=(\frac{2}{3})^x}\ \textgreater \ 0\; ,\; \; y= \frac{1}{t^2-t+1} = \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \ \textgreater \ 0\; ,\; tak\; kak\\\\(t-\frac{1}{2})^2 \geq 0\; \; i\; \; \frac{3}{4}\ \textgreater \ 0\; .$

Чем знаменатель меньше, тем больше дробь. А знаменатель примет своё наименьшее значение,когда $(t-\frac{1}{2})^2=0$ , то есть когда

$t-\frac{1}{2}=0\; ,\; t=\frac{1}{2}\\\\(\frac{2}{3})^{x}= \frac{1}{2} \; \; \Rightarrow \; \\\\ x=log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{2} =-log_{\frac{2}{3}}2= -\frac{1}{log_2\frac{2}{3}} = -\frac{1}{log_22-log_23} = \frac{1}{log_23-1}$

Само же наибольшее значение функции будет равно

$y=\frac{1}{0+\frac{3}{4}}= \frac{4}{3}$

NNNLLL54_zn · Answer 1 · 2018-04-29T12:37:56+0000

$y= \frac{9^{x}}{4^{x}-6^{x}+9^{x}}$

Преобразуем левую часть равенства, разделив числитель и знаменатель на $9^{x}$ .

$y= \frac{1}{(\frac{4}{9})^{x}-(\frac{6}{9})^{x}+1} = \frac{1}{(\frac{2}{3})^{2x}-(\frac{2}{3})^{x}+1} \\\\t=(\frac{2}{3})^x}\ \textgreater \ 0\; ,\; \; y= \frac{1}{t^2-t+1} = \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \ \textgreater \ 0\; ,\; tak\; kak\\\\(t-\frac{1}{2})^2 \geq 0\; \; i\; \; \frac{3}{4}\ \textgreater \ 0\; .$

Чем знаменатель меньше, тем больше дробь. А знаменатель примет своё наименьшее значение,когда $(t-\frac{1}{2})^2=0$ , то есть когда

$t-\frac{1}{2}=0\; ,\; t=\frac{1}{2}\\\\(\frac{2}{3})^{x}= \frac{1}{2} \; \; \Rightarrow \; \\\\ x=log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{2} =-log_{\frac{2}{3}}2= -\frac{1}{log_2\frac{2}{3}} = -\frac{1}{log_22-log_23} = \frac{1}{log_23-1}$

Само же наибольшее значение функции будет равно

$y=\frac{1}{0+\frac{3}{4}}= \frac{4}{3}$