n²+5n+1=m².
Перепишем это уравнение в виде
(2n+5-2m)(2n+5+2m)=21 (проверяется раскрытием скобок)
Значит 2n+5-2m=1, 2n+5+2m=21, откуда n=3, m=5
или 2n+5-2m=3, 2n+5+2m=7, откуда n=0, что не является натуральным.
Других вариантов представить 21 в виде произведения двух натуральных чисел нет, поэтому, ответ: n=3.