1
Пусть требуется сравнить два
иррациональных числа. Первое, на что следует обратить внимание - это
показатели степени корней у сравниваемых чисел. Если показатели
одинаковы, то сравнивают подкоренные выражения. Очевидно, что чем больше
подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.
Например, пусть надо сравнить кубический корень
из двух и кубический корень из восьми. Показатели одинаковы и равны 3,
подкоренные выражения 2 и 8, причем 2 < 8. Следовательно, и
кубический корень из двух меньше кубического корня из восьми.
2
В другом случае показатели степени могут
быть разными, а подкоренные выражения одинаковыми. Тоже вполне понятно,
что при извлечении корня большей степени получится меньшее
число.Возьмите для примера кубический корень из восьми и корень шестой
степени из восьми. Если обозначить значение первого корня как a, а
второго - как b, то a^3 = 8 и b^6 = 8. Легко видеть, что a должно быть
больше b, таким образом кубический корень из восьми больше корня шестой
степени из восьми.
3
Более сложной представляется ситуация с
разными показателями степени корня и разными подкоренными выражениями. В
таком случае надо найти наименьшее общее кратное для показателей корней
и возвести оба выражения в степень, равную наименьшему общему
кратному.Пример: надо сравнить 3^1/3 и 2^1/2 (математическая запись
корней есть на рисунке). Наименьшее общее кратное для 2 и 3 равно 6.
Возведите оба корня в шестую степень. Тут же получится, что 3^2 = 9 и
2^3 = 8, 9 > 8. Следовательно, и 3^1/3 > 2^1/2.