четырехугольник авсд диагонали которого взаимно перпендикулярны вписан в окружность....

Question

четырехугольник авсд диагонали которого взаимно перпендикулярны вписан в окружность. Перпендикуляры, опущенные на сторону АД из вершины В и С, пересекают диагонали АС и ВД в точках Е и F соответственно. Известно, что ВС=1. Найдите ЕF

Answer 1

Я предполагаю, что AD < BC, обратный случай сделайте самостоятельно.

N - точка пересечения диагоналей, ВЕ пересекает продолжение AD  в точке М, CF пересекает продолжение AD  в точке К. 

Угол BFC равен углу CAD, поскольку у них стороны перпендикулярны, а угол CAD равен углу  FBC, поскольку они опираются на одну дугу DC. 

Поэтому треугольник BFC равнобедренный, и N - середина BF.

Точно так же доказывается равенство углов ВЕС и ВСЕ (они оба равны углу ADB), то есть ВЕС - равнобедренный треугольник, и N - середина ЕС. 

Поэтому ВЕFC - четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. То есть это ромб. 

Поэтому EF = 1.