высота правильной шестиугольной призмы равна а. Диагонали двух смежных боковых граней...

Так как две смежные диагонали перпендикулярны друг другу, получаем прямоугольный треугольник во вложении:

Тогда

$h=\sqrt{D^2+x^2}$

$2x=\sqrt{D^2+D^2}=D\sqrt2$

Откуда получаем $x=\frac{D\sqrt2}{2}$

Тогда получаем

$h=\sqrt{D^2+x^2}=\sqrt{D^2+(\frac{D\sqrt2}{2})^2}=\sqrt{\frac{3D^2}{2}}$

$D^2=\frac23h^2$

$D=\frac{2x}{\sqrt2}=x\sqrt2$

$2x^2=\frac23h^2$

$x=\frac{h}{\sqrt3}}$

Площадь боковой поверхности считаем по формуле: периметр основания на высоту:

$S=P*h$

Периметр равен:

$P=\frac{6h}{\sqrt3}=2h\sqrt3$

Тогда площадь боковой поверхности будет равна:

$S=Ph=2h\sqrt3*h=2h^2\sqrt3$