Y = x + 4/x^2 = (x^3 + 4)/x^2
1) Область определения: (-oo; 0) U (0; +oo)
2) Четность: не четная и не нечетная, то есть общего вида.
3) Пересечение с осями:
x = 0 - функция не определена, пересечения с осью Oy нет.
Разрыв неустранимый 2 рода (уход в бесконечность)
y = 0 при x = -∛4
4) Вертикальная асимптота: x = 0
Наклонные и горизонтальные асимптоты:
f(x) = kx + b
k = lim(x->oo) (y/x) = lim(x->oo) (x^3 + 4)/x^3 = 1
b = lim(x->oo) (y - kx) = lim(x->oo) (x + 4/x^2 - x) = lim(x->oo) 4/x^2 = 0
Наклонная асимптота y = x
5) Критические точки: y ' = 0
y ' = (3x^2*x^2 - (x^3 + 4)*2x)/x^4 = (3x^3 - 2x^3 - 8)/x^3 = (x^3 - 8)/x^3 = 0
x^3 - 8 = 0
x = 2; y(2) = (8 + 4)/4 = 12/4 = 3
И x =/= 0 - точка разрыва
6) Монотонность
При x < 0 будет y ' > 0 - функция возрастает
При x ∈ (0; 2) будет y ' < 0 - функция убывает
При x > 2 будет y ' > 0 - функция возрастает
(2; 3) - точка минимума
7) Точки перегиба - y '' = 0
y '' = (3x^2*x^3 - (x^3 - 8)*3x^2)/x^6 = (3x^3 - 3x^3 + 24)/x^4 = 24/x^4 = 0
Точек перегиба нет, но x =/= 0 - точка разрыва.
При всех x =/= 0 будет y '' > 0 - график выпуклый вниз.
8) Область значений: (-oo; +oo)
9) График на рисунке
