Решите уравнение, используя введение новой переменной:

$\frac{12}{x^2-2x+3}=x^2-2x-1,$

ОДЗ: $x^2-2x+3\ne0,\\x^2-2x+3=0,\\D=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8\ \textless \ 0\ \Longrightarrow$ нет таких $x\ \to\ x\in R.$

Пусть $x^2-2x=t,$ тогда
$\frac{12}{t+3}=t-1,$

$\frac{12}{t+3}-t+1=0,\\\\\frac{12-t(t+3)+t+3}{t}=0,\\\\\frac{12-t^2-3t+t+3}{t}=0,\\\\\frac{-t^2-2t+15}{t}=0,\\\\ -t^2-2t+15=0,\\D=(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot15=4+60=64,\\\\t_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{64}}{-2}=\frac{2\pm8}{-2}=-1\mp4,\\t_1=-1-4=-5,\\t_2=-1+4=3.$

$1)\ x^2-2x=-5,\\x^2-2x+5=0,\\D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\ \textless \ 0$ нет действительных корней;

$2)\ x^2-2x=3,\\x^2-2x-3=0,\\D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16,\\\\x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}=1\pm2,\\x_1=1+2=3,\\x_2=1-2=-1.$

Ответ: $x_1=3,\ x_2=-1.$