23
Данное уравнение решать не будем. Оно не самое простое далеко в этом плане, поэтому сделаем проще - подставим по очереди каждое из этих общих решений в ДУ. То, которое будет удовлетворять уравнению, естественно назвать его решением.
- очевидно, данное равенство неверное(С - произвольная константа, поэтому её мы дифференцируем как число)
- очевидно, верное равенство. Судя по всему, это и есть общее решение уравнения. Для порядка можно аналогично проверить остальные решения(подставив их в это уравнение), чтобы убедиться, что ничего больше не подходит.
- очевидно, это равенство выполняется лишь при С= 0, в то время как у на С - произвольное действительное. Следовательно, для произвольного С данное равенство невозможно(аналогично мы рассуждали во всех предыдущих случаях).
- очевидно, что это неверно
Ответ на вопрос - вариант 2.
24
Тот случай, когда уравнение лучше решить или хотя бы приблизительно прикинуть, какой вид будет иметь его решение. Если будем подставлять y, как в предыдущем задании, то придётся от каждой функции во всех четырёх вариантах находить целых две производных, а эта задача трудоёмкая.
Общее решение будем искать в виде
, где
- общее решение соответствующего однородного уравнения,
- какое-нибудь частное решение исходного уравнения.
1)Составим линейное однородное ДУ второго порядка, соответствующее данному ДУ.
Составим его характеристическое уравнение и решим его:
(Соответствующее однородное ДУ мы можем получить из исходного, если просто заменим правую часть на 0. Характеристическое уравнение полученного однородного ДУ записывается по степеням, соответствующим порядкам производных, с коэффициентами теми же перед ними).
Корни нашего уравнение действительные, они два различные, значит, решение общее однородного ДУ будет искаться в виде
. В нашем случаем подставляем корни
То есть, мы получили первое слагаемое y1 в сумме. Смотрим, в каких вариантах это есть(остальные уже не подходят).
Подходят лишь варианты 1 и 4(в вариантах 2 и 3 эта сумма входит либо частично, либо вообще не входит). Рассматриваем их.
2)Если вариант 1 верен, то очевидно, что y = 0 является частным решением исходного ДУ, ибо y + 0 = y. Здесь y2 = 0). Поверяем подстановкой. Приходим к равенству
, что неверно, разумеется. Значит, единственный подходящий вариант - это 4. Действительно, в этом случае
. Если подставить это частное решение в наше первое ДУ, то получим, что это - решение. Значит, единственный вариант 4 - нам подходит. Он записан именно в виде той самой суммы, в виде которой мы с самого начала искали решение. Можно было не подставлять по очереди сначала 0, а потом и второй, а найти сразу частное решение с помощью метода неопределённых коэффициентов, даже быстрее было бы в определённом смысле.
Итак, вариант 4
.