Помогите вычислить: (∛6√3 - 10) - √3

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Упростим выражение ∛(6√3 - 10)=-∛(10-6√3)
для этого подкоренное выражение нужно свести к виду (a-b√3)³

$10-6 \sqrt{3} =(a-b \sqrt{3} )^3=a ^{3} -3a^2b \sqrt{3} +3a(b \sqrt{3}) ^{2} -(b \sqrt{3})^3= \\ =a ^{3} -3a^2b \sqrt{3} +3ab^2*3 -b ^{3} *3 \sqrt{3} =a ^{3} -3 a^2b\sqrt{3} +9ab^2 -3 b ^{3} \sqrt{3} \\ \\ 10-6 \sqrt{3} =a ^{3} -3 a^2b\sqrt{3} +9ab^2 -3 b ^{3} \sqrt{3} \\ \\$
Теперь приравняем выражение с радикалами к -6√3, а выражения без радикалов к -10, будем рассматривать а и b как натуральные числа:

$\left \{ {{a ^{3}+9ab^2=10 } \atop {-3 a^2b\sqrt{3} -3 b ^{3} \sqrt{3}=-6 \sqrt{3} \ |:(-3 \sqrt{3}) }} \right. \\ \left \{ {{a ^{3}+9ab^2=10 } \atop { a^2b + b ^{3} =2 }}} \right.$

$a^2b + b ^{3} =2$
так как мы рассматриваем только натуральные значения а и b, то очевидно, что 0
$\left \{ {{a ^{3}+9a*1^2=10 } \atop { a^2*1 + 1 ^{3} =2 \right. \\ \left \{ {{a ^{3} } +9a=10\atop {a ^{2}=1 }} \right. \\ \left \{ {{a ^{3} } +9a=10\atop {a }=+-1 }} \right. \\ {a ^{3} } +9a=10 \\ {1 ^{3} } +9*1=10 \\ 10=10 \\ {a ^{3} } +9a=10 \\ {(-1 )^{3} } +9(-1)=10 \\ -10 \neq 10$

итак а=1 и b=1, значит 10-6√3=(1-√3)³

$\sqrt[3]{6 \sqrt{3}-10 } - \sqrt{3} =- \sqrt[3]{10-6 \sqrt{3}} - \sqrt{3} =- \sqrt[3]{(1- \sqrt{3} ) ^{3} } - \sqrt{3} = \\ =-(1- \sqrt{3})- \sqrt{3} =-1+\sqrt{3}- \sqrt{3}=-1 \\ OTBET: -1$

Alexandr130398_zn (25.8k баллов) 29 Апр, 18