Евгений Дога родился 1 марта 1937 года в селе Мокра Рыбницкого района Молдавской АССР, ныне территория непризнанной Приднестровской Молдавской Республики.
В 1951—1955 годах учился в музыкальном училище в Кишинёве по классу виолончели, потом в консерватории (1955—1960). Параллельно с учёбой работал на Молдавском радио. Карьере музыканта помешал паралич левой руки. Дога ещё 5 лет учится в консерватории по классу композиции (1960—1965), в то же время дебютирует песней в исполнении оркестра под управлением Шико Аранова. В 1963 году он пишет свой первый струнный квартет.
После окончания консерватории прекратил писать музыку и увлёкся теорией, написал и издал учебник для студентов. В 1962—1963 годах Евгений Дога преподавал в одной из кишинёвских музыкальных школ, а в 1963—1967 годах — теорию музыки в Кишинёвском музыкальном училище им. Е. Коки. В 1967—1972 годах являлся членом репертуарно-редакционной коллегии Министерства культуры Молдавии. В 1987—1991 годах был членом комиссии по Ленинским и Государственным премиям СССР. Два созыва состоял в Верховном Совете Молдавии, два — в Верховном Совете СССР. Участвовал в разработке Закона «Об интеллектуальной собственности», который перевесом в 6 голосов был заблокирован.